旋转矩阵的特性
旋转矩阵的逆 = 旋转矩阵的转置 这种矩阵叫做正交矩阵
三维变换
3D变换相对于2D变换来说只是多增加了一个维度，可由2D变换举一反三得来
三维旋转
3D旋转在绕Y轴旋转时理解有些特殊
以xyz三个轴来说
X x Y = Z
Y x Z = X
X x Z = -Y (叉乘)
所以绕Y轴旋转的矩阵表现出来是转置的状态
罗德里格斯旋转公式
我们说在三维空间内绕某一轴旋转，默认这个轴是过原点的
罗德里格斯旋转公式就是总结了绕任意过原点的轴旋转的公式
对于绕不过原点的轴旋转，我们可以将其拆分为
- 将旋转轴平移到原点
- 绕轴旋转
- 将旋转后的模型平移回去
视图/相机变换
在现实生活中如何照一张照片？
- 找个好地方摆pose（Model变换）
- 把相机放个好角度（View变换）
- 按快门（Projection变换）
View变换—如何摆放相机的角度
- 决定相机的位置——e
- 决定相机看向的方向——g
- 决定相机头朝上的方向——t
规定相机永远在（0，0，0），沿着-Z看
变化的永远是其他物体
所以要先把摄像机归到原点
- 平移摄像机至（0，0，0）
- 将相机lookat的方向旋转到-z
- 旋转相机头朝上的方向到Y
第一步的平移可以简单的写成下图Tview
但是要将任意向量旋转到轴上比较难写（也就是第2步和第三步）
但是将轴（如X轴（1，0，0））旋转到任意向量比较好写
所以我们先求将X轴旋转到任意向量的矩阵，之后将该矩阵求逆，即可得到任意向量旋转到轴的矩阵Rview
Rview x Tview = Mview
Mview即为视图变换，将Mview应用到相机，相机归零，同时也需要将Mview应用到其他所有物体，让物体和相机的相对位置保持不变
投影
正交投影
先将相机归零lookat -Z轴
对于二维投影来说，直接把Z轴坐标舍弃，就能得到物体在xy平面上的投影
要把得到的图像平移并且缩放到[-1,1]²中，方便之后的计算
Lecture 04 Transformation Cont. P4 - 45:15
对于正交投影来说，视口是个[l,r][b,t][f,n]的长方体,想让他变成[-1,1]³中的话只需要
-
先将立方体的中心平移到原点
-
在将立方体缩放到
[-1,1]³中
首先要找到立方体的中心点，也就是
所以正交投影矩阵如下
(此时物体肯定会被拉伸，在之后的视口操作中会恢复拉伸）
透视投影
传统的欧式几何是在同一平面内生效的法则
对于不同平面就会造成照片中近大远小的情况
如何做透视投影?
老师的方法是，先将Frustum远平面及远平面到近平面之间的所有平面挤压到近平面大小，变成Cuboid的样子，然后做一次正交投影
那么如何做挤压呢?
我们已知一下三个条件
- 近平面坐标永远不变
- 远平面坐标的z值不变
- 中心点不变
- 对于除近平面外的任意一个点，通过挤压后该点的高度y要变成和近平面一样的y’
- 从侧面看Frustum的话，如下图，可以形成两个相似三角形，即可得出y‘=(n/z)y
- 同理x’=(n/z)x
- 通过上面推导出来的两个公式可得，对于任意一点（x,y,z,1）T 可得 这里为了方便书写，用T来表示转置矩阵，下文同
将这个点同时乘z得
(齐次坐标同时乘k（k！=0），还得到相同的点）
-
所以我们推导出了变化后的点的一部分 就是:
-
那么一个矩阵乘以任意一点（x,y,z,1）T得到上图，我们就可以推导出这个矩阵的一部分了,如下图
想补全这个矩阵，需要用到两条已知的性质
- 近平面的点不会发生变化
- 远平面的点z的值不会发生变化
- 对于近平面上的点来说，他的z值就是n
由性质1可得
对于近平面上的点（x,y,n,1）T经过矩阵变换后该点还为（x,y,n,1）T，同时乘n后得(nx,ny,n²,n）T
所以当z等于n时，也就是说近平面的点通过矩阵运算后变为(nx,ny,n²,n）T
所以矩阵第三行乘以（x,y,n,1）T= n²
可得第三行前两个数一定为0，即（0，0，A，B）
可得
- An+B=n²
由性质2可得
选一远平面上的点x=0，y=0，即中间点（0，0，f,1）T，经矩阵变化后还是中间点（0,0,f,1）T，同时乘f后得（0，0，f²，f）T
即（0，0，A，B）(0，0，f,1）T=（0，0，f²，f）T
可得
2. Af+B=f²
联立1、2得 A=n+f B=-nf
至此可解出Mpersp -> ortho
所以对于空间中任意一点进行透视变换可以通过如下公式解出:
关于任意一点挤压后向哪里移动的问题，简单推导了一下:
